Per fi hem arribat a Leibniz! En la primera activitat, vam tirar enrere fins a Al-Khwarizmi (s. IX) per veure com podíem resoldre equacions de segon grau fent servir diagrames visuals, i vam acabar pensant en el desenvolupament de potències de binomis. En la segona activitat, vam avançar en el problema fins a Pascal (s. XVII), i vam veure que els desenvolupaments de potències es podien esbrinar a partir dels coeficients del triangle aritmètic, i vam intentar descobrir alguns dels secrets de l'aritmètica que es desvelaven estudiant atentament el triangle.
En aquesta activitat ens trobem un dels personatges més importants de la història de les matemàtiques (i en aquest cas, també de la de filosofia!): Leibniz (s. XVII), que va crear juntament amb Newton tota una nova branca de les matemàtiques -el càlcul infinitesimal-.
Leibniz va crear el triangle harmònic, que guarda una estreta relació amb el triangle aritmètic de Pascal. Per a què es va crear? Com es pot fer servir? Mirarem de descobrir-ho a continuació...
Dibuixem les cinc primeres fileres del triangle harmònic a la pissarra i ens preguntem:
a) Com continua el triangle harmònic? Quina relació té amb l'aritmètic?
Després d'algunes conjectures fallides, arribem a la conclusió que les files s'obtenen fent els inversos dels coeficients del triangle aritmètic multiplicats pel número de la fila.
b) En el triangle aritmètic, la suma dels dos nombres de la fila de dalt (a,b) ens proporcionava el nombre de baix (c). Quina relació hi ha entre el nombre de la fila de dalt (a) i els dos nombres de la fila de baix (b,c) en el triangle harmònic?
Simple! Aquesta propietat tan maca agermana encara més el triangle aritmètic i l'harmònic.
c) Volem sumar tota la diagonal 1/2 + 1/6 + 1/12 + ...
Utilitzant la propietat de b), escriviu cada terme com la diferència de dos termes, i digueu quant val aquesta suma infinita.
Uau! Acabem de sumar infinits termes, que resulta que a sobre sumen entre tots 1! I tot aplicant la innocent propietat que hem descobert en l'apartat anterior.
Una suma d'aquest tipus, en matemàtiques s'anomena telescòpica.
d) L'any 1672, Huygens va proposar a Leibniz el problema de sumar els inversos dels nombres triangulars. Quant és? (Feu servir c) )
Així que aquest era el problema original!
Aquesta pregunta ja no ens va sortir. Els nombres triangulars són els que vam descobrir en l'última activitat, els que ens permetien dibuixar triangles: 1, 3, 6, 10, ...
És a dir, el problema proposat per Huygens és calcular 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + ...
Com hem vist a l'apartat anterior, 1/2 + 1/6 + 1/12 + ... = 1, i per tant, com que cada terme és la meitat del corresponent en la suma anterior, la suma de tots ells ha de ser 2.
Aquí acaba el nostre fil d'activitats històriques enllaçades per commemorar el 300 aniversari de la mort de Leibniz.
Fitxa:
Curs - 4t ESO
Temporització - 1 sessió
Idea original i enllaç al material - L'activitat s'ha programat a partir de la ponència de Maria Rosa Massa a la XIX Jornada Matemàtica d'ABEAM: Gottfried Wilhelm Leibniz, 300 anys després (pdf), així com informació del llibre Història de la Matemàtica, de Carlos Dorce Polo.
