Aquesta és la primera d'una sèrie de tres activitats enllaçades amb rerefons històric. És el nostre particular homenatge matemàtic al 300 aniversari de la mort de Leibniz (1646-1716), les contribucions del qual serien decisives per marcar el rumb de les matemàtiques en els segles posteriors.

Però el nostre punt de partida és molt abans. Retrocedim fins a al-Khwârizmî (segle IX), per intentar entendre com es va arribar a la fórmula per resoldre equacions de segon grau, per començar. L'objectiu era resoldre equacions de segon grau fent servir diagrames visuals geomètrics.

 

b2ap3_thumbnail_Diagrames-per-resoldre-equacions.png

Tots els alumnes recordaven que el quadrat de la suma era "el quadrat del primer, més el doble del primer pel segon, més el quadrat del segon". Però, quin significat té aquesta fórmula?

b2ap3_thumbnail_PB070087.JPG

És clar! L'àrea d'un quadrat de costat a+b és a^2 (el quadrat vermell), més 2ab (els dos rectangles verds), més b^2 (el quadrat blau).

I ara que ho entenem geomètricament, com podem fer servir això per resoldre equacions? Posem-nos a pensar...

b2ap3_thumbnail_PB070079.JPG

Volem resoldre l'equació x^2 + 6x = 40.

Si el quadrat petit té costat x, i hi afegeixo 3 a cada costat... Les àrees del triangle petit més els dos costats han de sumar 40...

b2ap3_thumbnail_PB070080.JPG

- Ja tenim la solució! Quatre! Perquè l'àrea total ha de ser 49.

No hi ha consens a classe en si hem d'admetre també la solució en què el costat és -7 (que ens donaria l'altra solució de l'equació, -10). D'una banda, estem posant un costat negatiu, que no té sentit, però també és cert que un cop arribem a formular el problema d'aquesta manera, obtenim les dues solucions al mateix moment...

b2ap3_thumbnail_diagrama.jpg

Molt bé! Tenim ja un mètode per resoldre geomètricament equacions de segon grau d'aquest tipus.

L'última pregunta fa referència al cub en comptes del quadrat. Com es desenvolupa el cub d'una suma? (Continuarà...)

b2ap3_thumbnail_cub.png

 

Fitxa:

Curs: 4t ESO

Temporització: 1 sessió

Idea original i material per dur a l'aula: La proposta és de la Iolanda Guevara, del grup d'Història de Matemàtiques de l'ABEAM, qui ha desenvolupat un fil d'activitats molt més extens per introduir la resolució d'equacions a partir de contextos històrics: http://apliense.xtec.cat/arc/node/67 Nosaltres n'hem fet només una petita part.