Continuem amb la sèrie d'activitats històriques enllaçades per commemorar el 300 aniversari de la mort de Leibniz. En l'anterior activitat vam veure com utilitzar diagrames per resoldre geomètricament equacions, i acabàvem pensant en el desenvolupament del binomi de potències cada cop majors.
Comencem doncs des d'aquí. L'activitat següent és una adaptació de l'article El triangle aritmètic de Blaise Pascal, del grup d'historia de l'ABEAM.
Com hem vist a classe, el binomi de Newton ens permet calcular el desenvolupament de les potències d'un binomi, i els coeficients es troben a partir del triangle aritmètic (un triangle que no és la primera vegada que veiem al Laboratori!).
Resulta que aquest triangle aritmètic es coneix des del segle XIII. A Occident apareix al De Arithmetica, de Jordanus Nemorarius, i a Orient, a El Mirall Preciós, de Txu Xhi-Kei.
Aquest triangle provoca fascinació entre tots els matemàtics que l'estudien a fons, per totes les propietats que hi troben. Johann Faulhauber (s. XVII) comenta que és "una rica mina d'informació en forma de taula, que revela els secrets més profunds de l'aritmètica", i William Oughtred (s. XVII) diu que és una "taula plena dels misteris més bonics". Gran part de la informació que tenim sobre el triangle, però, ens prové del tractat de Blaise Pascal, Traité du triangle arithmétique.
I què és el que hem de fer? Doncs ja que és un triangle que amaga tantes riqueses en el seu interior, com a mínim cal treure l'entrellat de dos dels quatre "secrets profunds" proposats. Són els següents:
-
Repte 1:
Quant sumen les files del triangle? Quant sumen tots els nombres per sobre d'una fila?
-
Repte 2:
Com continua? Quin lloc ocupa aquesta successió en el triangle aritmètic? Fes el mateix amb tetraedres.
-
Repte 3:
Considera qualsevol diagonal, de qualsevol longitud. Un cop triada, fixa't en el nombre situat a la fila de sota de l'últim número de la teva diagonal, al costat contrari del que avança la diagonal. Busca alguna relació entre tots aquests nombres.
-
Repte 4:
La successió de Fibonacci és: 1,1,2,3,5,8,13, ... Com segueix la sèrie? Ets capaç de trobar on s'amaga al triangle aritmètic?
Ens posem a treballar i ben ràpid comencen a sortir resultats sorprenents.
La majoria de grups no es conformen amb resoldre només dos reptes, i aspiren a resoldre els quatre, però com que el 2n i el 4t es resisteixen, comencen a intercanviar informació entre grups. Com es fa amb tetraedres? Has trobat la successió?
L'única pista pel 4t repte és: penseu en diagonals inclinades. Enhorabona, investigadors!
Fitxa:
Curs - 4t ESO
Temporització - 1 sessió
Enllaç al material - El triangle aritmètic de Blaise Pascal, de Maria Rosa Massa Esteve i Fátima Romero Vallhonesta, publicat a la revista Biaix, núm. 28-29. També hem utilitzat un triangle aritmètic imprès per poder fer provatures i conjectures.
