La següent activitat no l'hem realitzat al laboratori de 2n d'ESO, sinó a l'aula, amb un grup de 4t d'ESO, però és de l'estil del Laboratori de Matemàtiques i hem cregut convenient presentar-la al blog.
Als alumnes se'ls ha proporcionat un full DINA3 amb un engraellat triangular, i el següent enunciat, que és una adaptació per a l'aula d'un problema del Fem Matemàtiques:
Fent servir la graella triangular, ben aviat han entès com funcionava el patró d'iteració que permetia construir el floc de neu.
Però un cop dibuixat el floc de neu, calia començar amb els càlculs. Quant valen les àrees de les figures que anem construint?
- No, no, no sé com fer-ho. Com podem calcular l'àrea si no en coneixem ni la base ni l'altura?
- Podríem arribar a calcular-les, però en tot cas: estàs segura que les necessites?
- (Mmm...) Ah, clar, ja ho tinc! No cal! Nou triangles petits fan el mateix que un triangle gran!
- I tant, tens raó. I llavors què passa amb les àrees?
- Doncs que cada un dels triangles petits té d'àrea 1/9 part del triangle gran.
- Molt bé!
Si repetíssim el patró indefinidament, construiríem un fractal que té per nom el floc de neu de Koch. Les matemàtiques que es necessiten per tractar amb aquesta figura geomètrica involucren conceptes matemàtics més avançats que treballarem a Batxillerat, com ara el concepte de límit o la suma infinita de termes d'una progressió geomètrica.
Tot i així, amb les eines de què disposen actualment, uns quants són capaços de predir cap a on tendeix l'àrea observant el patró de creixement.
És curiós, perquè així com l'àrea tendeix a un valor finit (tota la figura, després de fer infinits passos construint més i més triangles, cabria en l'engraellat que tenien), no passa el mateix amb el perímetre, que va creixent més i més sense tendir a cap valor. En definitiva, que acabem de construir una figura geomètrica que té un perímetre infinit, però que engloba una àrea finita. Increïble!
Enhorabona! Es tractava d'un problema difícil -aquesta vegada sí-.
Autor: David Virgili
Fitxa:
Curs - 4t ESO
Temporització - 1 sessió
Idea original i material per dur a l'aula - Banc de recursos del FEM Matemàtiques, Triangles i trianglets: http://bancfm.blogspot.com.es/2015/06/triangles-i-trianglets.html, amb material complementari de la web sobre fractals de Cynthia Lanius: http://math.rice.edu/~lanius/frac/koch2.html
