Al laboratori, ens hem agrupat en grups de 5 amb l'objectiu de poder treballar amb el triangle de Tartaglia.
Quatre grups hem començat el triangle posant 1 a les dues diagonals, però dos grups més han posat 1 en una diagonal i -1 a l'altra diagonal, i dos grups més han provat què passava posant 2 en una diagonal i -3 a l'altra.
Per calcular els números en el triangle de Tartaglia el que cal fer a continuació és sumar els dos nombres que estan justament a sobre de cada casella. S'anava repetint el procés fins a tenir el triangle completat.
El nostre grup tenia 1 a les dues diagonals. Hem vist moltes coses diferents:
- El triangle era simètric. Els números que quedaven a l'esquerra eren els mateixos que quedaven a la dreta.
- Els números que quedaven per sota de les primeres diagonals eren els nombres naturals (1, 2, 3, 4, ...)
- Els números que quedaven per sota de la diagonal anterior eren els nombres triangulars (1, 3, 6, 10, ...), és a dir, nombres amb els quals podem construir triangles.
- El resultat de sumar els números de cada fila era una potència de 2.
Un cop hem acabat de calcular el triangle, hem fet servir un plàstic per enganxar-hi a sobre gomets als nombres que complissin condicions diferents:
- El 1r grup ha tapat els nombres no divisibles entre 3.
- El 2n grup ha tapat els nombres no divisibles entre 2.
- El 3r grup ha tapat els nombres no divisibles entre 4.
Si ajuntem els plàstics:
- El grup que havia tapat els nombres no divisibles entre 2 i el que havia tapat els no divisibles entre 4 coincidien en part. Això és perquè si un nombre és divisible entre 4, també ha de ser divisible entre 2.
- El grup que havia tapat els nombres no divisibles entre 2 i el que havia tapat els no divisibles entre 3 i formaven una figura que representava els nombres no divisibles entre 6. Això és perquè si un nombre és divisible entre 2 i divisible entre 3, aleshores ha de ser divisible entre 6.
Buscant més informació sobre el triangle de Tartaglia, hem vist que els nombres de les diagonals tenen nom, també passada la tercera diagonal. La quarta diagonal són els nombres tetraèdrics, i a la cinquena hi ha els nombres pentatòpics. A més, el nombre 3003, que és un nombre que hem arribat a calcular, és l'únic que es coneix que apareix vuit vegades al triangle.
A més, el triangle que hem obtingut quan hem posat gomets en els que no eren múltiples de 2 és una figura fractal que guarda similitud amb el triangle de Sierpinski. Aquesta similitud es veu encara més clara si considerem tan sols els múltiples de tres, de cinc, i en general, dels nombres primers.
Autors:
Àlia Alloul
Pablo Blanco
Ernest Bonet
Àurea Climent
Daniel Izquierdo
Fitxa:
Curs - 2n ESO
Temporització - 2 sessions de laboratori
Enllaç al material i idea original de l'activitat - De Pascal a Sierpinski (http://matematiquesmarines.blogspot.com.es/2015/10/de-pascal-sierpinski-materials.html)
